Dipl.-Ing. Peter Fette; Am Schäferloch 16; D-75045 Walzbachtal /Germany

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  9. Entropieberechnung zur Erstellung des T-S Diagramms

Mit der Definition von d_Qnutz nach Gl.(7.15) oder Gl.(8.10) kann jetzt die Entropieänderung des Gases in der Maschine berechnet werden:

(9.1)f9_1

Die Integration bzw. die Aufsummierung von d_S1 zu S1 und die mittlere Temperatur "T" -siehe Gl.(6.1) oder Gl.(6.2)- ergeben das T-S1 Diagramm dieses isothermen Stirling - Prozesses mit Kurbeltrieb -Abb.6-, wobei der Bezugspunkt für diesen Kurvenzug frei gewählt wird. (Hier S0 = 0 gesetzt.)

Die Entropierechnung für den idealen Stirlingprozeß erfolgt ebenfalls aus der Energiebilanzgleichung. Der ideale Prozeß kann ohne Hin- und Herschieben der Gasmassen in einem einzigen Raum erfolgen. Da die Gasmasse konstant ist, ist sie nicht mit in die Differentiation einzubeziehen. Die Energiebilanzgleichung wird damit einfacher. Statt Gleichung Gl.(7.2) oder Gl.(7.15) ergibt sich:

(9.2)f9_2

Das T-S Diagramm für den idealen Stirlingprozeß mit den gleichen Voluminagrenzen Vmax und Vmin wie beim Prozeß für die reale Maschine mit Kurbeltrieb ergibt, wie oben schon erwähnt, eine Art "Rahmen" um die Kurve, die sich aus der Entropieberechnung für den Prozeß in der realen Maschine mit Kurbeltrieb ergibt.
Die Kurve berührt den "Rahmen" bei Vmin und bei Vmax -entsprechend den Kurbelwinkelstellungen von 45 und 225 Grad; -diese Kurbelwinkelstellungen ergeben sich für den a-Typ Stirlingmotor bei gleichen Zylinderdurchmessern DH = DK.
Da das Regeneratorvolumen VR bzw. das gesamte Totvolumen in der realen Maschine immer > 0 ist, berührt die Kurve nicht die Isothermen TE und TC in Abb.6.

Das T-S Diagramm für den idealen Stirling Referenz-Prozeß -siehe Kapitel 5- hat die Form eines noch weiteren "Rahmens" wegen des größeren Volumenverhältnisses und wegen der größeren Temperaturdifferenz Tmax - Tmin .

Zur Berechnung des "Rahmens"

Ersetzt man "P" in der obigen Energiebilanzgleichung Gl.(9.2) nach dem idealen Gasgesetz durch P = MG * RG * T / VG , so ergibt sich die Energiebilanzgleichung zu:

(9.3)f9_3

und die Entropieänderung ist:

(9.4)f9_4_1

(9.4)f9_4_2

Da die Zustandsänderungen im idealen Stirlingprozeß nacheinander erfolgen, ist -wie oben schon gesagt- immer die gesamte Gasmasse MG beteiligt. Man unterscheidet wieder die isothermen und die isochoren Zustandsänderungen:

1) Entropieänderung während der isothermen Expansion bzw Kompression: Wegen T = const. gibt es keine Änderung der inneren Energie: Der Term aus Gl.(9.4) d_S1t = MG * cv * d_T /T ist in diesem Bereich = 0.

(9.5)f9_5

d_S1v kann sogleich integriert werden in den Grenzen von Vmin bis Vmax für die Expansion, und in den Grenzen von Vmax bis Vmin für die Kompression:

(9.5.1) f9_5_1

Die Werte "S1v" für die Expansion und "S1v" für die Kompression sind betragsmäßig gleich, unterscheiden sich aber wegen der Integrationsrichtung durch das Vorzeichen und erscheinen im Diagramm als horizontale Strecken gleicher Länge nämlich als die Isothermen TE und TC.

2) Entropieänderung während der isochoren Wärmezufuhr bei Vmin bzw. während des isochoren Wärmeentzugs bei Vmax: Da das Volumen während dieser Zustandsänderung konstant ist, gibt es hier keine Ausdehnungsarbeit: Der Term aus Gl.(9.4) d_S1v = MG * RG * d_VG/VG ist im Bereich der isochoren Zustandsänderung = 0.

(9.6)f9_6

S1t muß schrittweise errechnet werden bei Vmin für TC ≤ T ≤ TE bzw. bei Vmax für TE ≥ T ≥ TC . Es ergeben sich leicht gekrümmte Linienzüge, die einander gleichen.

Der Bezugspunkt dieses "Rahmens" kann frei gewählt werden. Damit aber der Kurvenzug des realen T-S1 Diagramms zu dem T-S Diagramm-Rahmen des idealen Stirlingprozesses paßt, sollte der Bezugspunkt für den 1. Punkt des Kurvenzuges auch als Basis für die Berechnung des "Rahmens" gewählt werden. Wurde für S(1) = 0 gewählt, dann sind für diesen Punkt des Kurvenzuges die Temperatur T(1) und das Volumen VG(1) bekannt, und es kann von diesem 1. Punkt der Kurve zu dem 1. Punkt des "Rahmens" (z.B. dem Beginn der isochoren Wärmezufuhr SRahmen(1) bei Vmin und T(1) = TC) zurückgerechnet werden.


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